Question

12．如图，点D是半径为5的⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD，CA=8，过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，连接AD、BD、OE的交点是F，连接AF．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）求BE的长；
（3）求cos∠AFO的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由圆周角定理∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得∠ODB=∠CBD，又因为∠CDA=∠CBD，等量代换得出结论；
（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（3）由切线DE、BE交于点E，得到DE=BE；∠1=∠2；通过△BOF∽△BOE，得到∠ADC=∠OBF=∠1=∠2所以AD∥OE，∠AFO=∠3可证△CAD∽△CDB得到$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$，通过勾股定理，求得AF=$\sqrt{{AD}^{2}{+DF}^{2}}$=$\frac{25\sqrt{13}}{13}$，可得结果．

解答 解：（1）如图所示，连接OD，
∵点D是以AB为直径的⊙O上一点，
∴∠ADB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴∠CBD+∠4=∠ODB+∠4=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA+∠4=90°，即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵CA=8，⊙O的半径为5，
∴OA=OB=OD=5，AB=10，BC=18，OC=13，
∵OD⊥CD，
∴CD=$\sqrt{{OC}^{2}{-OD}^{2}}$=$\sqrt{{13}^{2}{-5}^{2}}$=12，
∵BE是⊙O的切线，
∴BE⊥BC，
∴△COD∽△CEB，
∴$\frac{OD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$，$\frac{5}{BE}$=$\frac{12}{18}$，
解得：BE=$\frac{15}{2}$，

（3）∵切线DE、BE交于点E
∴DE=BE；∠1=∠2；
∴OE⊥BD；DF=BF
∴△BOF∽△BOE
∴∠ADC=∠OBF=∠1=∠2，
∴AD∥OE；
∴∠AFO=∠3
可证△CAD∽△CDB
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$，
∴设AD=2k；BD=3k，则AD²+BD²=AB²；
即（2k）²+（3k）²=10²；
解得：k=$\frac{10\sqrt{13}}{13}$，（负值舍去）
∴AD=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$，DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×3×\frac{10\sqrt{13}}{13}$=$\frac{15\sqrt{13}}{13}$，
∴AF=$\sqrt{{AD}^{2}{+DF}^{2}}$=$\frac{25\sqrt{13}}{13}$，
∴cos∠AFO=cos$∠3=\frac{AD}{AF}$=$\frac{\frac{20\sqrt{13}}{13}}{\frac{25\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．