Question

17．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=12+12$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如图，设CH=x，在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得AH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$x，在Rt△CBH中，根据等腰直角三角形的性质得BH=CH=x，则AB=BH+AH=x+$\sqrt{3}$x，原式可得到方程$\sqrt{3}$x+x=12+12$\sqrt{3}$，解方程得到x=12，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：作CH⊥AB于H，如图，设CH=x，
在Rt△ACH中，∵∠A=30°，
∴AH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$x，
在Rt△CBH中，
∵∠B=45°，
∴BH=CH=x，
∴AB=BH+AH=x+$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}$x+x=12+12$\sqrt{3}$，
∴x=12，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$×12×（12+12$\sqrt{3}$）=72$\sqrt{3}$+72．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．充分利用特殊角的三角函数值解决问题．