Question

一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，线段OA、AB的中点分别为点C、D，P为直线OB上一动点．
（1）当点P在直线OB上运动时，△PCD的面积是否发生变化？请说明理由；
（2）当点P在直线OB上运动时，△PCD的周长是否发生变化？如果发生变化，求出△PCD的最小周长及周长最小时P点的坐标；
（3）直接写出△PCD为等腰三角形时P点的坐标；
（4）直接写出△PCD为直角三角形时P点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先证明CD∥OB，点D（1，2），再以CD为底，高为P到CD的距离，即D的横坐标就是高h，△PCD的面积=

1

2

CD•h，面积不变；
（2）作点C关于y轴的对称点C′，如图所示：则可得C′点坐标为（-1，0）；连接C′D交y轴于点P，P点即为所求的点，此时△PCD的周长的最小值为C′D+CD；由△PC′O∽△DC′C，得出

OP

CD

=

OC′

CC′

，求出OP，根据勾股定理得出C′D，即可得出△PCD的周长的最小值；
（3）△PCD为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当PC=PD时，P在CD的垂直平分线上，与y轴交点即为点P；
②当CP=CD时，CP=2，以C为圆心，2为半径画弧，与y轴交于两点；
③当DP=CD时，以D为圆心，2为半径画弧，与y轴交于两点；共5个解；
（4）当△PCD为直角三角形时，分三种情况讨论：
①当D为直角顶点时；
②当点C为直角顶点时；
③当P为直角顶点时；分别求出P的坐标即可．

解答： 解：（1）△PCD的面积不发生变化；理由如下：
∵线段OA、AB的中点分别为点C、D，
∴C点坐标为（1，0），D点坐标为（1，2），CD=2，CD∥OB，
又∵点P在直线OB上运动，
∴点P到CD的距离总是1，即△PCD的CD边上的高为1，
∴S_△PCD=

1

2

CD•h=

1

2

×2×1=1，
∴△PCD的面积不发生变化；
（2）△PCD的周长发生变化；理由：
作点C关于y轴的对称点C′，如图所示：
则可得C′点坐标为（-1，0）；
连接C′D交y轴于点P，P点即为所求的点，
此时△PCD的周长的最小值为C′D+CD；
∵OP∥CD，
∴△PC′O∽△DC′C，
∴

OP

CD

=

OC′

CC′

，
又∵OC′=OC=1，CD=2，
∴

OP

2

=

1

2

，
∴OP=1，点P坐标为（0，1），C′D=

22+22

=2

2

，
∴△PCD的周长的最小值为2

2

+2；
（3）△PCD为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当PC=PD时，P在CD的垂直平分线上，与y轴交点即为点P，坐标为（0，1）；
②当CP=CD时，CP=2，以C为圆心，2为半径画弧，与y轴交于两点，坐标分别为（0，

3

），（0，-

3

）；
③当DP=CD时，以D为圆心，2为半径画弧，与y轴交于两点，坐标分别为（0，2+

3

），（0，2-

3

）；
综上所述：当△PCD为等腰三角形时，点P坐标为（0，1）或（0，

3

），或（0，-

3

），或（0，2+

3

），或（0，2-

3

）；
（4）当△PCD为直角三角形时，分三种情况讨论：
①当D为直角顶点时，点P坐标为（0，2）；
②当点C为直角顶点时，点P坐标为（0，0）；
③当P为直角顶点时，点P坐标为（0，1）；
综上所述：当△PCD为直角三角形时，点P坐标为（0，2），或（0，0），或（0，1）．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标、三角形的面积、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形、直角三角形等知识；本题难度较大，综合性强；特别注意（3）（4）中利用分类讨论的方法，避免漏解．