Question

10．（1）如图①，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上一点，DE∥BC，连接CD、BE，CD、BE交于点F，连接AF并延长，分别交DE、BC于点H、G．
求证：①$\frac{DH}{BG}=\frac{HE}{GC}$；
②G是BC的中点．
（2）运用（1）中的方法，在图②中，只用一把无刻度的直尺画出矩形ABCD的一条对称轴．（不写画法，保留画图痕迹）

Answer 1

分析 （1）①由DE∥BC，得到△ADH∽△ABG和△AHE∽△AGC，即可得到结论；
②易证△DEN∽△AEM，△OND∽△OMB，则依据相似三角形的对应边的比相等，可以证得$\frac{GC}{BG}=\frac{BG}{GC}$，得到BG=CG即可；
（2）①连接AC，BD，两线交于点O₁．②在矩形ABCD外任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H③连接BG，AH，两线交于点O₂．④作直线EO₂，交AB于点M．⑤作直线MO₁．直线MO₁就是矩形ABCD的一条对称轴．

解答 （1）证明：①∵DE∥BC，
∴△ADH∽△ABG，
∴$\frac{DH}{BG}=\frac{AH}{AG}$，
同理：$\frac{HE}{GC}=\frac{AH}{AG}$，
∴$\frac{DH}{BG}=\frac{HE}{GC}$；
②∵DE∥BC
∴△FDH∽△FCG，
∴$\frac{DH}{GC}$=$\frac{FH}{FG}$，
同理：$\frac{EH}{GB}=\frac{FH}{FG}$，
∴$\frac{DH}{GC}=\frac{EH}{GB}$，
∴$\frac{DH}{EH}=\frac{GC}{BG}$，
由（1）得：$\frac{DH}{HE}=\frac{BG}{GC}$，
∴$\frac{GC}{BG}=\frac{BG}{GC}$，
∴BG=CG，即点G是BC的中点；
（2）解：如图所示，直线MO₁即为所求．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，通过等量代换得到$\frac{GC}{BG}=\frac{BG}{GC}$是解决问题的关键．