题目内容
5．
已知抛物线C：y=x2-3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=-3x+b交于点P，且$\frac{1}{OA}+\frac{1}{OB}=\frac{2}{OP}$，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
分析 （1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；
（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD，$\frac{OP}{OA}$+$\frac{OP}{OB}$=2，同理$\frac{PD}{AC}$+$\frac{PD}{BE}$=2，AC，BE是x2-（k+3）x+4=0两根，即可；
（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．
解答 解：（1）当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，
∴直线l解析式为y=x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-3x+m}\\{y=x}\end{array}\right.$，
∴x2-3x+m=x，
∴x2-4x+m=0，
∴△=16-4m=0，
∴m=4，
（2）如图，
分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，
则△OAC∽△OPD，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{PD}{AC}$．
同理，$\frac{OP}{BO}=\frac{PD}{BE}$．
∵$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{OB}$=$\frac{2}{OP}$，
∴$\frac{OP}{OA}$+$\frac{OP}{OB}$=2．
∴$\frac{PD}{AC}$+$\frac{PD}{BE}$=2．
∴$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{BE}$=$\frac{2}{PD}$，
即$\frac{AC+BE}{AC×BE}$=$\frac{2}{PD}$．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-3x+b}\end{array}\right.$，
得，x=$\frac{b}{k+3}$，
即PD=|$\frac{b}{k+3}$|．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-3x+4}\end{array}\right.$消去y，得x2-（k+3）x+4=0．
∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，
∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．
①当b＞0时，
∴$\frac{k+3}{4}=\frac{2}{\frac{b}{k+3}}$．
解得b=8．
②当b＜0时，
∴$\frac{k+3}{4}$=-$\frac{2}{\frac{b}{k+3}}$，
∴b=-8，
（3）不存在．理由如下：
假设存在，
当S△APQ=S△BPQ时，有AP=PB，
于是PD-AC=BE-PD，
即AC+BE=2PD．
由（2）可知AC+BE=k+3，PD=$\frac{8}{k+3}$，
∴k+3=2×$\frac{8}{k+3}$，
即（k+3）2=16．
解得k=1（舍去k=-7）．
当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在．
∴不存在实数k使S△APQ=S△BPQ．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．
名校课堂系列答案| A． | 2007 | B． | 2008 | C． | 2009 | D． | 2010 |
| A． | x＞4 | B． | x≥-2且x≠4 | C． | x＞-2且x≠4 | D． | x≠4 |
| A． | $\sqrt{8}$ | B． | $\sqrt{12}$ | C． | $\sqrt{\frac{1}{2}}$ | D． | $\sqrt{30}$ |
| A． | 调查一批药品的质量问题 | |
| B． | 调查重庆全市中小学生的课外阅读时间 | |
| C． | 调查某航班的旅客是否携带了违禁物品 | |
| D． | 调查全国初三学生的视力情况 |
| A． | x＜3 | B． | x＞3 | C． | x≠3 | D． | x=3 |