Question

9．如图，在△ABC中，AC=2$\sqrt{2}$，D为边AC的中点，且∠CAB=105°，∠C=∠DBA，则BC的长度为$\sqrt{6}$$+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由∠C=∠DBA，∠BAD=∠BAD，得到△ADB∽△ABC，得到$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，求得AB=2，过B作BF⊥AC交CA的延长线于F，作∠BAE=∠ABF交BF于E，设AF=a，则EF=$\sqrt{3}$a，AE=BE=2a，在R_t△ABF中，AB²=AF²+BF²，求得CF=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，根据勾股定理求出BC．

解答 解：∵∠C=∠DBA，∠BAD=∠BAD，
∴△ADB∽△ABC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB²=AD•AC，
∵AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴AB=2，
如图，过B作BF⊥AC交CA的延长线于F，作∠BAE=∠ABF交BF于E，
∵∠BAC=105°，
∴∠BAF=75°，∴∠ABF=∠BAE=15°，
∴AE=BE，∠AEF=30°，
设AF=a，∴EF=$\sqrt{3}$a，AE=BE=2a，
在R_t△ABF中，AB²=AF²+BF²，
∴4=a²+（$\sqrt{3}+2$）²a²，
解得：a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，∴CF=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴BC²=CF²+BF²，
∴BC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．