Question

4．如图，等边△ABC中，点D是AB上一点，点E在线段CD延长线上，以BE为一边且在BE的左侧作等边△BEF，连接AF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若线段AF，CE交于点M，连接MB，求证：MB平分∠FMC；
（3）若AB=6，点D为AB中点，且线段AF经过点E，求此时BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到BF=BE，AB=BC，∠EBF=∠ABC=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过B作BG⊥AF，BH⊥CE，推出△ABG≌△CBH，根据全等三角形的性质得到BG=BH，于是得到MB平分∠FMC；
（3）如图2，由（1）证得△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠BCE，根据等边三角形的性质得到∠BCD=30°，求得∠BAF=30°推出∠ABF=90°，于是得到结论．

解答 （1）∵△ABC与△BEF是等边三角形，
∴BF=BE，AB=BC，∠EBF=∠ABC=60°，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF与△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{∠ABF=∠CBE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE；
（2）如图1，过B作BG⊥AF，BH⊥CE，
∴∠AGB=∠CHB=90°，
∵△ABF≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCH，
在△ABG与△CBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠CHB}\\{∠BAG=∠BCH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBH，
∴BG=BH，
∴MB平分∠FMC；
（3）如图2，由（1）证得△ABF≌△CBE，∴∠BAF=∠BCE，∵点D为AB中点，∴∠BCD=30°，∴∠BAF=30°，∵∠ADE=∠CBD=90°，
∴∠AED=60°，∵∠FEB=60°，
∴∠BED=60°，∴∠EBD=30°，∴∠ABF=90°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，等边三角形的性质，角平分线的判定，正确的作出图形是解题的关键．