Question

15．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为$\frac{14\sqrt{3}}{3}$cm．

Answer 1

分析 如图，设圆O与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CD=$\sqrt{3}$xcm，而CE=2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为（$\sqrt{3}$x-4）cm，OC=（$\sqrt{3}$x-1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．

解答 解：如图，设图②中圆O与BC的切点为M，
连接OM，
则OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依题意知道∠DCB=30°，
设AB为2xcm，
∵△ABC是等边三角形，
∴CD=$\sqrt{3}$xcm，
而CE=4cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，
∴半圆的半径为（$\sqrt{3}$x-4）cm，OC=（$\sqrt{3}$x-1）cm，
∴sin∠DCB=$\frac{OM}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}x-4}{\sqrt{3}x-1}$=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴等边△ABC的边长为=2x=2×$\frac{7\sqrt{3}}{3}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$（cm）．
故答案为：$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．