Question

16．已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x₁²+x₂²=0时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到△=（2m-1）²-4m²≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，再${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=0$变形得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=0，则（2m-1）²-2m²=0，然后解方程，再确定满足条件的m的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$；

（2）根据题意得x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，
∵${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=0$，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=0，
∴（2m-1）²-2m²=0，
整理得2m²-4m+1=0，
解得m₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵m≤$\frac{1}{4}$，
∴m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的根的判别式．