Question

在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为

 

；第n个正方形的面积为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：规律型

分析：根据相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，继而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算第一个正方形的面积，从中找出规律，进而可求出第n个正方形的面积．

解答：解：设正方形的面积分别为S₁，S₂…，S_n，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=

5

，tan∠ADO=

OA

OD

=

1

2

，
∵tan∠BAA₁=

BA1

AB

=tan∠ADO，
∴BA₁=

1

2

AB=

5

2

，
∴CA₁=

5

+

5

2

，
同理，得：C₁A₂=（

5

+

5

2

）×（1+

1

2

），
由正方形的面积公式，得：S₁=（

5

）²=5，
S₂=（

5

）²×（1+

1

2

）²，
S₃=（

5

）²×（1+

1

2

）⁴=5×（

3

2

）⁴，
由此，可得S_n=（

5

）²×（1+

1

2

）^2（n-1）=5×（

3

2

）^2n-2．
故答案为：5；5×（

3

2

）^2n-2．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．