Question

如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数；
（3）D为AB延长线上一点，点E在BC边所在射线上，且BE=BD=2AB，计算AE与CD所在直线的夹角，如果△ABC的面积是1，连接DE，计算△ADE的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）直接运用HL定理证明即可解决问题．
（2）求出∠AEB=75°；证明∠BDC=∠AEB，即可解决问题．
（3）证明∠BDC=∠BEA，得到∠AFD=90°；由面积公式求出AB的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
在直角△ABE与△CBD中，

AB=BC BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（HL）．
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，而∠EAC=30°，
∴∠AEB=45°+30°=75°；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
（3）如图2，类似（1）中的方法，同理可证：△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠BEA；
∵∠BEA+∠BAC=90°，
∴∠BDC+∠BEA=90°，
∴∠AFD=90°，
即AE与CD所在直线的夹角为90°；
∵

1

2

AB•BC=1，AB=BC，
∴AB=

2

，BE=BD=2

2

，
∴计算△ADE的面积=

1

2

×2

2

×

2

+

1

2

×2

2

×2

2

=2+4=6．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握定理内容是灵活运用、解题的基础和关键．