Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．
（1）求证：△MEF∽△BEM；
（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）若EF⊥CD，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）先根据已知条件判断出梯形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质可得出△MEF∽△MFC，由相似三角形的性质及判定定理可得出△MEF∽△BEM；
（2）由（1）可知△MEF∽△BEM，BM=BF=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；同理，若BM=BM=3=MC，则△MEF≌△FMC，由全等三角形的对应边相等可得出EF的长；
（3）根据EF⊥CD，△MEF∽△BEM可求出∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，设BE=x，则BH=

1

4

x，EH=MH=

15

4

x，由MH+BH=3即可求出答案．

解答：证明：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C，（1分）
∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，
又∵∠EMF=∠B，
∴∠EMB=∠MFC，（1分）
∴△EMB∽△MFC，
∴

EB

EM

=

MC

MF

，（1分）
∵MC=MB，
∴

EB

EM

=

MB

MF

，
又∵∠EMF=∠B，
∴△MEF∽△BEM；（1分）

（2）解：若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：
①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，
∴

EF

ME

=

MF

BM

，
∴

BM

ME

=

MF

EF

，即EF=MF
根据第（1）问中已证△BME∽△MFC，
∴

BM

ME

=

MF

FC

，即MF=FC，
∴∠FMC=∠C，
又∵∠B=∠C，
∴∠FMC=∠B，
∴MF∥AB
延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，
∴MF是△GBC的中位线，
∴MF=

1

2

GB，
又∵AD∥BC，
∴△GAD∽△GBC，
∴

AG

GB

=

AD

BC

=

3

6

=

1

2

，
∴

AB

AG

=1，即AG=AB=6，
∴GB=12，
∴MF=EF=6
②BM=BE=3，
∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，
∴

BM

BE

=

MF

ME

=1，即MF=ME，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（3+6）=

9

2

；

（3）∵EF⊥CD，
∴∠EFC=90°，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°，
解一：过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，
故EH=MH，
设BE=x，则BH=

1

4

x，EH=MH=

15

4

x，

15

4

x+

1

4

x=3，
∴BE=x=

6

7

(

15

-1)（2分）
解二：过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=

3

4

．MN=

3

4

15

=FN，FC=

3

4

(

15

+1)-2
由△MEF∽△MFC有

EB

BM

=

MC

CF

，
即

EB

3

=

3

3 4 ( 15 +1)

，
得BE=

6

7

(

15

-1)．

点评：本题考查的是等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．