Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF=BF，求证：△CEF是等边三角形．

Answer 1

分析 在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=60°，根据外角性质可得∠4=60°，在RT△ADE中可得∠3=∠5=60°，进而可知∠4=∠5=60°，得证．

解答 证明：如图，

∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠1=2∠2，
∵AF=BF，
∴∠2=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4=∠2+∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=60°，
∵∠5=∠3，
∴∠4=∠5=60°，
∴△CEF是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更简单明了．