Question

19．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c（b＜c＜a），BC的垂直平分线DG交∠BAC的角平分线AD于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论一定成立的是（　　）

• A． DG=$\frac{1}{2}$（a+b）
• B． CF=c-b
• C． BE=$\frac{1}{2}$（a-b）
• D． AE=$\frac{1}{2}$（b+c）

Answer 1

分析 如图，连接DB、DC．只要证明△DEB≌△DFC，推出BE=CF，由△ADE≌△ADF，推出AE=AF，推出AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=2AE，即AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

解答 解：如图，连接DB、DC．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∵DG垂直平分线段BC，
∴DB=DC，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△DFC，
∴BE=CF，
同理△ADE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=2AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$（AB+AC）=$\frac{1}{2}$（b+c），
故选D．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．