Question

11．如图，抛物线y=-x²-2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C
（1）求A、B、C的坐标；
（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AC，求点F的坐标；
（3）E（0，-2），连接BE．将△OBE绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O、B、E的对应点分别为O′、B′、E′．若点B′、E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线分别令x=0，y=0即可解决问题．
（2）先求出AC的解析式，由题意可知FG=2，设F（m，-m²-2m+3），则G（m，m+3），则有|-m²-2m+3-（m+3）|=2，解方程即可．
（3）如图2中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE与B’E’互相垂直且相等．设B’（t，-t²-2t+3），则E’（t+2，-t²-2t+3-1）．因为E’在抛物线上，则有-（t+2）²-2（t+2）+3=-t²-2t+3-1，解方程即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=-x²-2x+3，
令x=0得y=3，∴C（0，3），
令y=0，则-x²-2x+3=0解得x=-3或1，
∴A（-3，0）；B（1，0）；C（0，3）．

（2）如图1中，

∵A（-3，0），C（03），
∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，FG=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AC=2
设F（m，-m²-2m+3），则G（m，m+3），
则|-m²-2m+3-（m+3）|=2，
解得m=-1或-2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
则F点的坐标为（-1，4）或（-2，3）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

（3）如图2中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE与B’E’互相垂直且相等．

设B’（t，-t²-2t+3），则E’（t+2，-t²-2t+3-1）
∵E’在抛物线上，则-（t+2）²-2（t+2）+3=-t²-2t+3-1，
解得，t=-$\frac{7}{4}$，则B’的坐标为（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程，本题体现了数形结合的思想，属于中考常考题型．