Question

19．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，DE是梯形的高，若S_梯形ABCD=49cm²，求梯形的高．

Answer 1

分析 作辅助线：延长CB至E，使DB∥AE，则根据已知条件，可构建平行四边形ADBE和等腰直角△EAC，则直角△AEC的面积等于梯形ABCD的面积，利用高AF表示出△ACE的面积，即可求解．

解答 解：延长CB至E，使DB∥AE．
∵AC⊥BD，
∴AE⊥AC．
∵AD∥BC，DB∥AE，
∴四边形ADBE为平行四边形．
∴DB=AE，AD=EB，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴DB=AC，
∴AE=AC，
∴△AEC为等腰直角三角形．
∵S_梯形=$\frac{1}{2}$=49．
∵S_△AEC=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_梯形=S_△AEC
∴$\frac{1}{2}$AE²=49．
∴AE²=98．
∵AF⊥EC，
∴AF=FE．
∴2AF²=AE²
∴AF=7．

点评 此题关键是作辅助线，构建等腰直角三角形AEC，将等腰梯形的面积转化到等腰直角三角形中，根据等腰梯形、平行四边形性质及等腰直角三角形的性质求解．