Question

5．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：
（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第8行中从左边数第3个数是21；
（2）利用不完全归纳法探索出第n行中的所有数字之和为2^n-1．

Answer 1

分析 （1）设第n行第2个数为a_n（n≥2，n为正整数），第n行第3个数为b_n（n≥3，n为正整数），根据给定“杨辉三角”的部分找出a_n、b_n的值，根据数的变化找出变化规律“a_n=n-1，b_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$”，依此规律即可得出结论；
（2）由题意得出每行的数字之和等于2的序数减一次幂，据此解答即可．

解答 解：（1）设第n行第2个数为a_n（n≥2，n为正整数），第n行第3个数为b_n（n≥3，n为正整数），
观察，发现规律：
∵a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=4，a₆=5，
∴a_n=n-1；
∵b₃=1，b₄=3=1+2=b₃+2，b₅=6=3+3=b₄+3，b₆=10=6+4=b₅+4，…，
∴b_n-b_n-1=n-2，
∴b_n=b₃+b₄-b₃+b₅-b₄+b₆-b₅+…+b_n-b_n-1=1+2+3+…+n-2=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$．
当n=8时，b₃=$\frac{（8-1）（8-2）}{2}$=21；
（2）∵第1行数字之和1=2⁰，
第2行数字之和2=2¹，
第3行数字之和4=2²，
第4行数字之和8=2³，
…
∴第n行数字之和为2^n-1．
故答案为：21；2^n-1．

点评 本题主要考查数字的变化类，解题的关键是每行的数相加，分析总结得出规律，根据规律求出第n行的数据之和．