Question

4．已知：如图，在△AOB中，OB=OA，∠AOB=90°．在△ACQ中，AC=CQ，∠ACQ=90°，点P为BQ的中点
（1）延长OP至点M，使PM=OP，连接CM，求证：CM=OC；
（2）判断△OMC的形状，写出并说明理由；
（3）判断QM与OA的位置关系，写出并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明CM=OC，只要证明△AOC≌△QMC即可．
（2）结论：△OCM是等腰直角三角形，只要证明∠OCM=∠ACQ即可．
（3）结论：QM⊥OA，利用“8字型”进行证明．

解答 （1）证明：在△BOP和△QMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=PM}\\{∠OPB=∠MPQ}\\{BP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△QMP，
∴QM=OB=AO，∠MQP=∠OBP=45°+∠ABQ，
∵∠OAC=∠OAB+∠BAQ+∠QAC=90°+∠BAQ，
∠MQC=360°-∠AQC-∠AQB=∠BQM=360°-45°-（180°-∠QAB-∠ABQ）-（45°+∠ABQ）=90°+∠QAB．
∴∠MQC=∠OAC，
在△AOC和△QMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=QM}\\{∠OAC=∠MQC}\\{AC=CQ}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△QMC，
∴CM=CO，
（2）结论：△OCM是等腰直角三角形，理由：
证明：∵△AOC≌△QMC，
∴∠ACO=∠QCM，
∴∠OCM=∠ACQ=90°，
∵OC=CM，
∴△OCM是等腰直角三角形．
（3）结论：QM⊥OA，理由：
证明：延长MQ、OA交于点K，OC与KM交于点H，
∵△AOC≌△QMC，
∴∠CMQ=∠COK，
∵∠CMO+∠CHM=90°，∠CHM=∠OHK，
∴∠OHK+∠AOC=90°，
∴∠OKH=90°，
∴QM⊥OA．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，正确寻找全等三角形是解决问题的关键，学会利用“8字型”证明直角，属于中考常考题型．