Question

18．如图，在△ABC中，∠CAB，∠ABC的外角平分线相交于点D．
（1）若∠C=90°，则∠D=45°；
（2）若∠C=120°，则∠D=30°；
（3）若∠C=70°，则∠D=55°；
（4）请找出∠C与∠D的关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）求出∠BAC+∠ABC，然后求出∠BAE+∠ABF，再根据角平分线的定义求出∠DAB+∠DBA，再利用三角形的内角和等于180°列式求解即可；
（4）用∠C表示出∠BAC+∠ABC，然后求出∠BAE+∠ABF，再根据角平分线的定义求出∠DAB+∠DBA，再利用三角形的内角和等于180°列式求解即可得解．

解答 解：（1）∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠BAE+∠ABF=180°-∠BAC+180°-∠ABC=360°-90°=270°，
∵∠CAB，∠ABC的外角平分线相交于点D，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠DAB+∠DBA=$\frac{1}{2}$（∠BAE+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×270°=135°，
在△ABD中，∠D=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-135°=45°；

（2）∵∠C=120°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-120°=60°，
∴∠BAE+∠ABF=180°-∠BAC+180°-∠ABC=360°-60°=300°，
∵∠CAB，∠ABC的外角平分线相交于点D，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠DAB+∠DBA=$\frac{1}{2}$（∠BAE+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×300°=150°，
在△ABD中，∠D=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-150°=30°；

（3）∵∠C=70°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠70°=110°，
∴∠BAE+∠ABF=180°-∠BAC+180°-∠ABC=360°-110°∠°+∠=250°，
∵∠CAB，∠ABC的外角平分线相交于点D，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠DAB+∠DBA=$\frac{1}{2}$（∠BAE+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×250°=125°，
在△ABD中，∠D=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-125°=55°；

（4）∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠C．
理由如下：由三角形的内角和定理得，∠BAC+∠ABC=180°-∠C°，
∴∠BAE+∠ABF=180°-∠BAC+180°-∠ABC=360°-（180°-∠C）=180°+∠C，
∵∠CAB，∠ABC的外角平分线相交于点D，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠DBA=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠DAB+∠DBA=$\frac{1}{2}$（∠BAE+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×（180°+∠C），
在△ABD中，∠D=180°-$\frac{1}{2}$×（180°+∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
即∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠C．
故答案为：（1）45°；（2）30°；（3）55°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．