Question

8．已知：x²+1=4x（x≠0），求①x²$+\frac{1}{{x}^{2}}$  ②（x-$\frac{1}{x}$）²  ③x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$．

Answer 1

分析 ①先根据题意得出x²=4x-1，再根据负整数指数幂的运算法则把原式进行化简，再把x²的值代入进行计算即可；
②利用完全平方公式把式子化简，再根据①的结论即可得解；
③根据负整数指数幂的运算法则把原式进行化简，再把（1）中的结果代入进行计算即可．

解答 解：①∵x²-4x+1=0，
∴x²=4x-1，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$
=$\frac{{x}^{4}+1}{{x}^{2}}$
=$\frac{（4x-1）^{2}+1}{4x-1}$
=$\frac{16{x}^{2}-8x+1+1}{4x-1}$
=$\frac{16（4x-1）-8x+2}{4x-1}$
=$\frac{64x-16-8x+2}{4x-1}$
=$\frac{56x-14}{4x-1}$
=$\frac{14（4x-1）}{4x-1}$
=14；

②（x-$\frac{1}{x}$）² 
=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-2
=14-2
=12；

③x⁴+x^-4
=x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2
=14²-2
=194．

点评 本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意完全平方公式的灵活运用．