Question

如图，矩形ABCD的顶点C、D在反比例函数y=

k

x

的图象上，顶点A，B分别在y轴的正半轴上，x轴的正半轴上，且AB=2AD=2

5

，求k的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：作CE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，根据四边形ABCD是矩形得出BC=AD，根据相似三角形的判定定理得出△OAB∽△EBC∽△FDA，故∠EBC=∠FDA，∠BCE=∠DAF，在△EBC与△FAD中，由ASA定理得出△OAB≌△FAD，设OB=y，则OA=x，根据AB=2AD可得AF=

1

2

y，BE=

1

2

x，再由勾股定理得出关于xy的方程组，求出x，y的值即可．

解答： 解：作CE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，
∵∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AEB=∠AOB=90°，
∴△OAB∽△EBC．
同理可得，△OAB∽△FDA，
∴△OAB∽△EBC∽△FDA，
∴∠EBC=∠FDA，∠BCE=∠DAF，
在△EBC与△FAD中，

∠EBC=∠FDA BC=AD ∠BCE=∠DAF

，
∴△OAB≌△FAD（ASA），
设OB=y，则OA=x，
∵AB=2AD，
∴AF=

1

2

y，BE=

1

2

x，
∴

x2+y2=20 ( 1 2 x+y)• 1 2 y=(x+ 1 2 y)• 1 2 x

，
解得x=y=

10

，
∴k=（

1

2

x+y）•

1

2

y=

15

2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出相似三角形，再由反比例函数的性质及勾股定理求解是解答此题的关键．