Question

3．如图所示，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，E为x轴下方的对称轴上一点且EF⊥BE交抛物线于F，且EB=EF，求点F坐标．

Answer 1

分析 作FH垂直抛物线的对称轴于H，对称轴交x轴于D，如图，利用抛物线与x轴的交点问题可求出A（-1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x=1，所以BD2，再证明△BDE≌△EHF得到DE=HF，BD=EH=2，设F（t，t²-2t-3），则DH=-t²+2t+3，所以-t²+2t+3=t+1，然后解此方程求出t的值即可得到满足条件的F点的坐标．

解答 解：作FH垂直抛物线的对称轴于H，对称轴交x轴于D，如图，
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴BD=3-1=2，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠BED+∠FEH=90°，
而∠BED+∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠FEH，
在△BDE和△EHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠EHF}\\{∠EBD=∠FEH}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△EHF，
∴DE=HF，BD=EH=2，
设F（t，t²-2t-3），则DH=-t²+2t+3，
而DH=DE+EH=HF+2=t-1+2=t+1，
∴-t²+2t+3=t+1，
整理得t²-t-2=0，解得t₁=-1（舍去），t₂=2，
∴F点的坐标为（2，-3）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了利用三角形全等解决线段相等的问题．