Question

3．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）问t为何值时，△ABP是等腰三角形？
（2）问t为何值时，点P与所在边对角顶点连线正好平分所在边的对角？

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AC的长，由题意可知，只有当点P在AC上时，△ABP可能为等腰三角形，设PC=x，则AP=BP=8-x，再由勾股定理求出x的值即可；
（2）分点P在∠ABC，∠ACB与∠BAC的平分线上三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}-{BC}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8cm．
如图1所示，设PC=x，则AP=BP=8-x，
在Rt△PCB中，BC²+PC²=PB²，即6²+x²=（8-x）²，解得x=$\frac{7}{4}$，
∵速度为每秒1cm，
∴t=$\frac{7}{4}$秒；

（2）如图2，当点P在∠ABC的平分线上时，过点P作PE⊥AB，则CP=PE，
设CP=PE=x，则S_△ABP=S_△ABC-S_△BCP，即$\frac{1}{2}$×10x=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×6x，解得x=3，故t=3秒；
如图3，当点P在∠ACB的平分线上时，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，则DE=DF，
设DE=DF=h，则S_△ACP=S_△ABC-S_△BCP，即$\frac{1}{2}$×8h=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×6h，解得h=$\frac{24}{7}$，
∵∠ACB=90°，
∴CE=PE=$\frac{24}{7}$，
∴AE=8-$\frac{24}{7}$=$\frac{32}{7}$，
∴AP=$\sqrt{{AE}^{2}+{PE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{32}{7}）}^{2}+{（\frac{24}{7}）}^{2}}$=$\frac{40}{7}$，
∴AC+AP=8+$\frac{40}{7}$=$\frac{96}{7}$（cm），
∴t=$\frac{96}{7}$秒；
如图4所示，当P在∠BAC的平分线上时，过点P作PE⊥AB，则PC=PE，
设PC=PE=h，则S_△ABP=S_△ABC-S_△ACP，即$\frac{1}{2}$×10h=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×8h，解得h=$\frac{8}{3}$，
∴AB+AC+BP=10+8+（6-$\frac{8}{3}$）=$\frac{64}{3}$（cm），
∴t=$\frac{64}{3}$秒．
综上所述，当t=3秒，$\frac{96}{7}$秒或$\frac{64}{3}$秒时，点P与所在边对角顶点连线正好平分所在边的对角．

点评 本题考查的是相似形综合题，根据题意画出图形，在解答（3）时要注意进行分类讨论．