Question

17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为$\widehat{AD}$中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求$\widehat{BM}$的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∵M为$\widehat{AD}$中点，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{DM}$，
∴$\widehat{AB}$+$\widehat{AM}$=$\widehat{CD}$+$\widehat{DM}$，即$\widehat{BM}$=$\widehat{CM}$，
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∵$\widehat{AM}$=$\widehat{DM}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{AD}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BM}$=$\widehat{AB}$+$\widehat{AM}$=$\frac{3}{2}\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BM}$的长=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$×4π=$\frac{3}{8}$×4π=$\frac{3}{2}$π．

点评 本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．