Question

定义：如果二次函数y=ax²+bx+c的最小值大于0，我们就说这个二次函数的值恒大于0．
（1）如图所示，如果二次函数的值恒大于0，那么它图象上的点都在x轴上方．根据图象可知：a

 

0，b²-4ac

 

0；（填“＞”、“＜”或者“=”）
（2）试判断二次函数y=2x²-2x+1的值是否恒大于0；
（3）类似的，可以定义二次函数y=ax²+bx+c的值恒小于0：

 

，如果二次函数的值恒小于0，那么a

 

0，b²-4ac

 

0；（填“＞”、“＜”或者“=”）
（4）如果二次函数y=x²-2x+k的值恒大于0，求k的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值

专题：

分析：（1）根据抛物线的开口方向和抛物线与x轴交点的个数进行填空；
（2）根据根的判别式的符号进行推断；
（3）根据材料中的“定义”填空；
（4）由“定义”得到关于k的不等式△=4-4k＜0，通过解不等式来求k的取值范围．

解答：解：（1）如图所示，如果二次函数的值恒大于0，那么它图象上的点都在x轴上方．根据图象可知：a＞0，b²-4ac＜0．
故答案是：＞；＜；

（2）y=2x²-2x+1=2（x-

1

2

）²+

1

2

，
∵2＞0，所以图象开口向上，b²-4ac=-4＜0，图象与x轴没有公共点，所以函数的值恒大于0；

（3）类似的，可以定义二次函数y=ax²+bx+c的值恒小于0：如果二次函数y=ax²+bx+c的最大值小于0，我们就说这个二次函数的值恒小于0．如果二次函数的值恒小于0，那么a＜0，b²-4ac＜0．
故答案是：如果二次函数y=ax²+bx+c的最大值小于0，我们就说这个二次函数的值恒小于0；＜；＜；

（4）∵二次函数y=x²-2x+k的值恒大于0，
∴△=4-4k＜0．
解得 k＞1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的最值，解答该类题目，运用“数形结合”的数学思想，可以使问题变得直观化，降低解题的难度．