Question

9．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．

（1）当A′与B重合时（如图1），EF=5；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长？
（2）观察图3和图4，
 ①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形；
 ②设BA′=x，当x的取值范围是3≤x≤5时，四边形AEA′F是菱形．

Answer 1

分析 （1）由于矩形对折，于是EF=AD=5；根据折叠的性质得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C=4，设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）²+1²=t²，解得t=$\frac{5}{3}$，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF；
（2）①根据折叠的性质得到EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF=∠AFE，则有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根据菱形的判定即可得到结论．
②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形；

解答 解：（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF=AD=5．
故答案为：5；
如图2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C=$\sqrt{A′{F}^{2}-F{C}^{2}}$=4，
设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE²+BA′²=EA′²，
∴（3-t）²+1²=t²，解得t=$\frac{5}{3}$，
在Rt△AEF中，AE=$\frac{5}{3}$，AF=5，
∴EF=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$；
（2）①如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF，
∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形．
②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形，
故答案为：3≤x≤5；

点评 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质．