Question

17．如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，对角线AC与BD相交于点O，BO=DO，点E、F分别是AD、AC的中点．
（1）求证：∠ADC+∠ADO=∠EFC；
（2）如果点G是BC的中点，EG与AC相交于点H，求证：EH=GH．

Answer 1

分析 （1）由点E、F分别是AD、AC的中点，得到EF∥CD，∠ADC=∠AEF，根据直角三角形的性质得到AO=$\frac{1}{2}$BD=OD，由等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAO，即可得到结论；
（2）连接FG、GO、OE，根据三角形的中位线的性质得到FG∥AB，FG=$\frac{1}{2}$AB，OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB，等量代换得到FG∥OE，FG=OE，推出四边形EFGO是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，∠ADC=∠AEF，
∵∠BAD=90°，OB=OD，
∴AO=$\frac{1}{2}$BD=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠ADO+∠ADC=∠AEF+∠DAO=∠EFC；

（2）连接FG、GO、OE，
∵E、F、G、O分别是AD、AC、BC、BD的中点．
∴FG∥AB，FG=$\frac{1}{2}$AB，OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB，
∴FG∥OE，FG=OE，
∴四边形EFGO是平行四边形，
∴EH=GH．

点评 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．