Question

9．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，P是△ABC外一点，且PB⊥PC，试判断PA，PB，PC的关系，并加以证明．

Answer 1

分析 注意到四边形ABPC对角互补，且AB=AC，由此可将三角形ABP逆时针旋转90度至三角形ACD，从而易证三角形APD是等腰直角三角形，结论显然．

解答 解：PC+PB=$\sqrt{2}$PA．
如图，延长PC至D，使CD=BP，连接AD，
∵∠BAC=∠BPC=90°，
∴∠ABP+∠ACP=180°，
∵∠ACP+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠ABP，
在△ABP和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACD（SAS），
∴AP=AD，∠BAP=∠CAD，
∵∠BAP+∠PAC=90°，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
即∠PAD=90°，
∴△PAD是等腰直角三角形，
∴PD=$\sqrt{2}$PA，
即PC+PB=$\sqrt{2}$PA．

点评 本题主要考查了全等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中．本题实际上是一种经典旋转模型，即四边形对角互补，又有一组邻边相等的情况下，可用旋转，这一技巧要求熟练掌握．