Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　）

• A． $\frac{9}{5}$
• B． $\frac{12}{5}$
• C． $\frac{16}{5}$
• D． $\frac{24}{5}$

Answer 1

分析 根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．

解答 解：过O作OG⊥AB于G，连接OC，
∵DE=6，
∴OC=3，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
连接OM，∵OM=3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴CF=4.8，
∴OG=4.8-3=$\frac{9}{5}$，
∴MG=$\sqrt{{3}^{2}-（{\frac{9}{5}）}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴MN=2MG=$\frac{24}{5}$，．
故选D．

点评 本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OE垂于E，得出C、O、E三点在一条直线上OE最小是解题的关键．