Question

12．如图，直角坐标系中，点A、B是正半轴上两个动点，以AB为边作一正方形ABCD，对角线AC、BD的交点为E，若OE=2，则经过E点的双曲线为y=$\frac{2}{x}$．

Answer 1

分析 作EM⊥OB于M，EN⊥OA于N，由AAS证明△AEN≌△BEM，得出EN=EM，证出四边形OMEN是正方形，得出OM=EN，△OEM是等腰直角三角形，因此OM=EM=$\sqrt{2}$，得出E的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），设经过E点的双曲线为y=$\frac{k}{x}$，求出k的值，即可得出结果．

解答 解：作EM⊥OB于M，EN⊥OA于N，如图所示：
则四边形OMEN是矩形，∠EMB=∠ENA=90°，
∴∠MEN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AE=BE，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEN=∠BEM，
在△AEN和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENA=∠EMB}&{\;}\\{∠AEN=∠BEM}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△BEM（AAS），
∴EN=EM，
∴四边形OMEN是正方形，
∴OM=EN，△OEM是等腰直角三角形，
∴OM=EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\sqrt{2}$，
∴E（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设经过E点的双曲线为y=$\frac{k}{x}$，
则k=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∴y=$\frac{2}{x}$．
故答案为：y=$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、反比例函数解析式的求法等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．