Question

19．关于x的方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有两个实数根x₁、x₂
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）²-4（k²+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x₁＜0，x₂＜0，然后去绝对值得到-（x₁+x₂）=x₁x₂-1，则2k+1=k²+2-1，整理得到k²-2k=0，再解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2k+1）²-4（k²+2）≥0，
解得k≥$\frac{7}{4}$；
（2）根据题意得x₁+x₂=-（2k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∵|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-1，
∴-（x₁+x₂）=x₁x₂-1，
∴2k+1=k²+2-1，
整理得k²-2k=0，解得k₁=0，k₂=2，
∵k≥$\frac{7}{4}$，
∴k=2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．