Question

【题目】已知：如图，是的外接圆，且，，是的切线，为切点，割线过圆心，交于另一点，连接．

求证：；

求的半径及的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) DC=23.8．

【解析】

（1）如图；由AB=AC，可以得到∠1=∠2，然后利用弦切角定理就可以证得PA与BC的内错角相等，由此得证；

（2）本题需构建直角三角形求解，连接OA，交BC于G，由垂径定理知：OA垂直平分BC，

在Rt△ABG中，已知了AB、BG的长，根据勾股定理可求出AG的长，

在Rt△OBG中，用圆的半径表示出OG的长，然后根据勾股定理，求出圆的半径长，进而可求出OG的长，

△BCD中，易证得OG是△BCD的中位线，由此可求出CD的长．

解:∵是的切线，

∴．

又∵，

∴，

∴．

∴．

连接交于点，则；

由可知，，

∴．

∴为的中点，

∵，

∴．

又∵，

∴．

设的半径为，则，

在中，

∵，

∴，

∴，；

∵是的直径，

∴．

又∵，

∴．

∵点是的中点，

∴．