Question

【题目】已知：在中，．

（1）如图1，是边上两点，， 求的度数．

（2）点是边上两动点(不与重合)， 点在点左侧，且，点关于直线的对称点为，连接．

①依题意将图2补全．

②小明通过观察和实验，提出猜想：在点运动的过程中，始终有为等腰直角三角形，他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：要想证明为等腰直角三角形，只需证．

请参考上面的思路，帮助小明证明△APM 为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①图见解析，②证明见解析

【解析】

（1）首先证明∠BAP=∠CAQ，再根据三角形的外角的性质计算即可；
（2）①根据要求画出图形即可；
②只要证明AP=AM，∠PAM=90°即可证明△APM 为等腰直角三角形；

解：（1）∵为等腰直角三角形，

∴

∴

∵．

∴；

（2）①补全图形，如图所示，

②证明：如图，连接．

∵为等腰直角三角形，

∴

又∵，

∴．

∴．

∴△APB≌△AQC（AAS）

∴，

又．

又∵，

∴

∴为等腰直角三角形.