题目内容
8．
如图，直线y=-x+8与x轴、y轴交于A、B两点，点P、点Q同时从点O出发，分别以每秒3个单位和每秒4个单位的速度沿x轴、y轴方向移动，连接PQ．设移动的时间为t秒（0＜t＜2），以点P为中心，顺时针旋转△POQ，使旋转后的△O′PQ′的边PQ′恰好落在x轴上． （1）当点Q′与点A重合时，求此时的t的值；
（2）设△O′PQ′与△ABO重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
分析 （1）点Q′与点A重合即OP+PQ=OA，据此即可列方程求解；
（2）当0＜t≤1时，重合部分就是△△O′PQ′，根据三角形的面积公式即可直接求解；然后求得当O'正好在AB上时t的值，然后分大于这个值和小于这个值两种情况进行讨论．
解答 解：（1）在y=-x+8中，令y=0，解得：x=8，即A的坐标是（8，0），OA=8．
在直角△OPQ中，OQ=4t，OP=3t，
则PQ=$\sqrt{O{P}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{（4t）^{2}+（3t）^{2}}$=5t，
根据题意得：3t+5t=8，
解得：t=1．
即t=1时，点Q′与点A重合；
（2）当0＜t≤1时，重合部分就是△△O′PQ′即△OPQ，则y=$\frac{1}{2}$×3t×4t=6t2；
当O'正好在AB上时，如图1．
Q'O'=4t，O'P=3t，PQ'=5t，
作O'C⊥x轴于点C．
则O'C=$\frac{PQ'•O'P}{PQ'}$=$\frac{12}{5}$t．
PC=$\frac{9}{5}$t．OC=3t+$\frac{9}{5}$t=$\frac{24}{5}$t．
故O'的坐标是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）．
把O'的坐标是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）代入y=-x+8得：$\frac{12}{5}$t=-$\frac{24}{5}$t+8，
解得：t=$\frac{10}{9}$．
当1＜t＜$\frac{10}{9}$时，如图2设O'Q'交AB于点D．
Q'的坐标是（8t，0），O'的坐标是（$\frac{24}{5}$t，$\frac{12}{5}$t）．
设O'Q'的解析式是y=kx+b．
则$\left\{\begin{array}{l}{8tk+b=0}\\{\frac{24}{5}tk+b=\frac{12}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6t}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+6t．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=-\frac{3}{4}x+6t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=32-24t}\\{y=24t-24}\end{array}\right.$．
即D的坐标是（32-24t，24t-24）．
则S=S△PO'Q'-S△AQ'D=6t2-$\frac{1}{2}$（8t-8）（24t-24），即y=-90t2+192t-96；
当$\frac{10}{9}$≤t＜2时，如图3．
设PO'和AB相交于点E．
设PO'的解析式是：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{3mt+n=0}\\{\frac{24}{5}mt+n=\frac{12}{5}t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-4t}\end{array}\right.$，
则PO'的解析式是：y=$\frac{4}{3}$x-4t．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+8}\\{y=\frac{4}{3}x-4t}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12t+24}{7}}\\{y=\frac{32-12t}{7}}\end{array}\right.$．
即E的坐标是（$\frac{12t+24}{7}$，$\frac{32-12t}{7}$）．
PA=8-3t，
则S=$\frac{1}{2}$（8-3t）×$\frac{32-12t}{7}$，即S=$\frac{2}{7}$（8-3t）2．
点评 本题是二次函数与三角形的面积公式相结合的题目，关键是求得当O'正好在AB上时t的值，正确进行讨论．
活力试卷系列答案
课课优能力培优100分系列答案| A． | 2 | B． | -2 | C． | 1 | D． | -1 |
如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（2$\sqrt{3}$，1），直线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）今年A型节能电动车每辆售价多少万元？（用列方程的方法解答）
（2）涛伟车行清明节后计划新购进一批A型节能电动车和新款B型节能电动车，进货时，每购进3辆节能电动车，批发商就给车行返回1500元．若新款B型节能电动车的进货数量是A型节能电动车的进货数量的2倍，全部销售获得的利润不少于18万元，且今年A，B两种型号节能电动车的进货和销售价格如下表：
| A型节能电动车 | B型节能电动车 | |
| 进货价格（万元/辆） | 0.55 | 0.7 |
| 销售价格（万元/辆） | 今年的销售价格 | 2 |