Question

19．直线y=$\frac{1}{2}$x和直线y=-x+3所夹锐角为α，则sinα的值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据两直线相交得出三条边的长度，再根据a²=b²+c²-2bc•cosα计算得出cosα，进而求出sinα即可．

解答 解：如图：
因为直线y=$\frac{1}{2}$x和直线y=-x+3，
可得交点A的坐标为：（2，1），
可得点B的坐标为：（0，3），
所以可得：OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，OB=3，
根据△ABC中三边和角的关系：BC²=AB²+OA²-2OA•ABcosα，
可得：9=5+8-2×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{2}$cosα，
解得：cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
则sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故选：A．

点评 此题考查的知识点是两条直线相交问题，关键是先求出交点，再根据三角形边角关系计算．