Question

9．若x＞0，y＞0，且x-$\sqrt{xy}$-2y=0，则$\frac{{2x-\sqrt{xy}}}{{y+2\sqrt{xy}}}$的值是$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 首先根据x＞0，y＞0，且x-$\sqrt{xy}$-2y=0，判断出x、y的大小关系，然后求出的x、y的大小关系代入$\frac{{2x-\sqrt{xy}}}{{y+2\sqrt{xy}}}$，求出算式的值是多少即可．

解答 解：∵x-$\sqrt{xy}$-2y=0，
∴（$\sqrt{x}$-2$\sqrt{y}$）（$\sqrt{x}$$+\sqrt{y}$）=0，
∴$\sqrt{x}$=2$\sqrt{y}$或$\sqrt{x}$=-$\sqrt{y}$，
∵x＞0，y＞0，
∴$\sqrt{x}$=-$\sqrt{y}$不符合题意，
∴$\sqrt{x}$=2$\sqrt{y}$，x=4y，
∴$\frac{{2x-\sqrt{xy}}}{{y+2\sqrt{xy}}}$=$\frac{2×4y-\sqrt{4y•y}}{y+2\sqrt{4y•y}}$=$\frac{8y-2y}{y+4y}=\frac{6y}{5y}$=$\frac{6}{5}$，
即$\frac{{2x-\sqrt{xy}}}{{y+2\sqrt{xy}}}$的值是$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 （1）此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
（2）解答此题的关键是判断出x、y的大小关系．