Question

8．解决问题：
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的一个顶点在原点，顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，面积等于8，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象过正方形ABCO的顶点B，E点是y=$\frac{k}{x}（k≠0）$图象上异于B点的任意一点，过E作ED垂直x轴于点D，作EF垂直y轴于F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当E点在第一象限，且A、D、B、C四点围成的四边形是平行四边形时，求E点的坐标；
（3）设E点的横坐标为a，A、D、B、C四点围成的四边形面积为S，求S与a间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）直接根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可；
（2）先求出BC的长，再由平行四边形的性质即可得出结论；
（3）求出A点坐标，再分a＞4$\sqrt{2}$，0＜a＜4$\sqrt{2}$与a＜0三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的一个顶点在原点，顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，面积等于8，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵正方形ABCO的面积是8，
∴BC=OA=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．
∵BC∥EF，
∴只有AD=BC时，A、D、B、C四点围成的四边形是平行四边形，
∴AD=4$\sqrt{2}$，
∴E（4$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；

（3）∵由（2）知，当E（4$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）时，四边形ADBC是平行四边形，
∴根据点E横坐标a的变化，AD的长度发生变化，BC不变，AD∥BC．
分三种情况讨论梯形的面积S与a的关系：
当a＞4$\sqrt{2}$时，S=$\frac{2\sqrt{2}+A-2\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$a（当a=4$\sqrt{2}$时，点A、D重合，此时ADBC不是四边形，且与E异于B矛盾）；
当0＜a＜4$\sqrt{2}$时，S=$\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-a}{2}$×2$\sqrt{2}$=8-$\sqrt{2}$a；
当a＜0时，S=$\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-a}{2}$×2$\sqrt{2}$=8-$\sqrt{2}$a，
综上所述，当a＞4$\sqrt{2}$时，S=$\sqrt{2}$a；当a＜4$\sqrt{2}$时，S=8-$\sqrt{2}$a．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的判定与性质、梯形的面积公式等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．