Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过O（0，0），A（8，0），B（2，2

3

）三点，弧AB与OA交于C，弧AB所在的圆的圆心点E，点P是弧AB上一动点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若OC=OB，试问点E是否在这条抛物线上？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的位置P和x轴上的一点M，使得△APB与△AMP相似？若存在请求出点M的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过O（0，0），A（8，0），B（2，2

3

）三点，根据待定系数法可求这条抛物线的解析式；
（2）根据中垂线的性质可求点E的坐标为(6，2

3

)，再代入抛物线解析式进行计算即可求解；
（3）存在，△PBA的三个角分别为15°，45°，120°，由E（6，2

3

）．分四种情况：ⅰ．点P是弧BC的中点；ⅱ．连结EP；ⅲ．P（6，-4+2

3

），B（2，2

3

）；ⅳ．∠PM₄A=120°；进行讨论即可求解．

解答：解：（1）把O（0，0），代入抛物线解析式y=ax²+bx+c中，得c=0                 
把A（8，0），B（2，2

3

），分别代入抛物线解析式y=ax²+bx中，得

64a+8b=0 4a+2b= 3

解得

a=- 3 6 b= 4 3 3

．                                                  
所以这条抛物线解析式y=-

3

6

x2+

4

3

3

x；
（2）∵OC=OB，
∴点C（4.0）
AC的中垂线x=6  
BC的中垂线y=

3

3

x
则点E的坐标为(6，2

3

)，
当x=6时，y=-

3

6

×6²+

4

3

3

×6=2

3

则点E在抛物线上．                                                
（3）存在，△PBA的三个角分别为15°，45°，120°                
由E（6，2

3

）．
ⅰ．点P是弧BC的中点，
AM₁=AB，
则△APB∽△APM₁
AB=8×

3

2

=4

3

OM₁=8-4

3

，
∴M₁（8-4

3

，0）
ⅱ．连结EP，
∠PEA=90°，
AP=4

2

AM

AP

=

AP

AB

?AM=

(4 2 )2

4 3

=

8

3 3

OM₂=8-

8 3

3

，
∴M₂（8-

8 3

3

，0）
ⅲ．P（6，-4+2

3

），B（2，2

3

）
∠PM₃A=45°
OM₃=6-（4-2

3

）=2+2

3

，
∴M₃（2+2

3

，0）
ⅳ．∠PM₄A=120°
OM₄=

3

3

（4-2

3

）+6-=4+

4 3

3

，
∴M₄（4+

4 3

3

，0）
综上，M₁（8-4

3

，0），M₂（8-

8 3

3

，0），M₃（2+2

3

，0），M₄（4+

4 3

3

，0）．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，中垂线的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．