Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4经过A（-3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，D（4-4

2

，0）．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点G，使得S_△GCB=S_△GCA，再在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠GBE=45°，求E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）首先求出△AQD∽△ACB，则

AD

AB

=

DQ

BC

，得出DQ=DP的长，进而得出答案；
（3）首先得出G点坐标，进而得出△BGM∽△BEN，进而假设出E点坐标，利用相似三角形的性质得出E点坐标．

解答：解：（1）将A（-3，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+4得：

9a-3b+4=0 16a+4b+4=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 1 3

，
故抛物线的解析式为：y=-

1

3

x2+

1

3

x+4；

（2）如图，连接QD，
由B（4，0）和D（4-4

2

，0），
可得BD=4

2

，
∵y=-

1

3

x2+

1

3

x+4，
∴CO=4，
∴BC=4

2

，则BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=∠QDC，
∴DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

DQ

BC

，
∴

7-4 2

7

=

DQ

4 2

，
∴DQ=

28 2 -32

7

=DP，
t=AP=AD+DP=7-4

2

+

28 2 -32

7

=

17

7

；

（3）如图，过点G作GM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∵S_△GCB=S_△GCA，
∴只有CG∥AB时，G点才符合题意，
∵C（0，4），
∴4=-

1

3

x²+

1

3

x+4，
解得：x₁=1，x₂=0，
∴G（1，4），
∵∠GBE=∠OBC=45°，
∴∠GBC=∠ABE，
∴△BGM∽△BEN，
∴

GM

BM

=

EN

BN

=

1

7

，
设E（x，-

1

3

x2+

1

3

x+4）
∴

- 1 3 x2+ 1 3 x+4

4-x

=

1

7

解得x1=-

18

7

，x₂=4（舍去），
则E（-

18

7

，

46

49

）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式和线段垂直平分线的性质等知识，利用数形结合得出△BGM∽△BEN是解题关键．