Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，DE⊥BC，交BC的延长线于点E，BD交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=4，ED=8，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）连接OD，可证出OD∥BE，从而得出∠ODE=90°，即得出答案；
（2）设OD交AC于点M，可得出四边形DMCE为矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理得出x，即为圆的半径．

解答：解：（1）连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，则∠EBD=∠ODB，
∴OD∥BE，
∴∠ODE=∠DEB=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）设OD交AC于点M，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE=90°，
∵∠DEB=90°，∠ODE=90°，
∴四边形DMCE是矩形，
∴DM=EC=4，
AM=MC=DE=8，
设⊙O的半径为x，得x²=8²+（x-4）²，
解得：x=10，
⊙O的半径为10．．

点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理以及圆周角定理，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．