Question

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．

问：平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？若能，请说明直线AB、CD的位置关系；若不能，请说明理由

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

Answer 1

（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．

当k＝－2时，反比例函数的解析式是。

（2）当AB、CD关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，ABCD是矩形．……(2分)

因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以AB与CD无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．

（3）抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，

当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

由OQ2＝OA2，得．

解得（如图2），