Question

已知：如图1，在中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，连接DE。

（1）       求∠AED的度数.

（2）       ①求证：EB-EC=DE

       ②若点A为直线AB上的动点，当点A运动到如图2位置时，①中的结论是否成立，若成立，说明理由；若不成立，直接写出类似的结论（不必证明）。

（3）       若点A运动到BD的延长线时，如图3所示，当DC=，DE=2时(0<BE<2),求AE的长。

           

图1                    图2                              图3

Answer 1

（1）解：如图1：∵ CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E.

           ∴∠AEB=∠ADC=90°

           ∵∠A=∠A

           ∴∽

           ∴

           ∴   

又∵∠A=∠A

           ∴∽

           ∴∠AED=∠ABC=45°

图1                                         图2                       

（2）①证明：如图2：在BE上截取BH=EC

           ∵∽

           ∴∠1=∠2

           ∵CD⊥AB

           ∴∠BDC=90°且∠ABC=45°

           ∴BD=DC

           在和中

           ∵ BD=DC，∠1=∠2 ，BH=EC

          ∴≌（SAS）         

          ∴DH=DE    ∠3=∠4

          ∵∠3+∠5=90°

          ∴∠HDE=∠4+∠5=90°

    ∴为等腰直角三角形

       ∴BE-EC=BE-BH=HE=DE         

 ∴BE - EC=DE                 

  ②如图2，原结论不成立,，结论应为：EC-BE=DE

（3）如图3：延长EB到H，使BH=EC

同理可证：∽，∽

       ∠DEC=45° ∴为等腰直角三角形

       ∵∠1=∠2=∠DCE

         BD=DC

         BH=EC

       ∴≌（SAS）                    

∴DE=DH

       ∴∠5=180°-90°-45°=45°

       ∴∠5=∠H=45°

       ∴为等腰直角三角形

       ∴HB+BE=EC+BE=HB=DE                                     图3

       ∴EC+BE=DE                 

       设BE=x

∵为等腰直角三角形

       ∴BC=DC= 

       ∵EC+BE=DE    即EC+X=·=4

 ∴EC=4-X

       在Rt中，由勾股定理得：

       解得：X=1或3      

      ∵ 0<BE<2

      ∴ BE=1 (如图3)               

      ∴tan∠3=

      延长DE，过点A作AF⊥DE的延长线于点F

      在Rt中，tan∠4= tan∠3=

     ∵∠AEF=∠DEC=45°

     ∴设AF=EF=a 则DF=3a

     ∴ DE=3a-a=2a=

     ∴  a=

     ∴AE=·=2