Question

正方形和圆都是人们比较喜欢的图形，给人以美的感受．某校数学兴趣小组在研究性学习中发现：

（Ⅰ）在如图（1）中研究以AB为直径的半圆中，裁剪处面积最大的正方形CDEF时惊喜地发现，点C和点F其实分别是线段AF和的BC黄金分割点．如果设圆的半径为r，此时正方形的边长a₁=

 

．
（Ⅱ）如图（2），如果在半径为r的半圆中裁剪处两个同样大小且分别面积最大的正方形的边长a₂=

 

；如图（3），并列n个正方形时的边长a_n=

 

．
（Ⅲ）如图（4），当n=9时，我们还可以在第一层的上面再裁剪出同样大小的正方形，也可以再在第二层的上面再裁剪出第三层同样大小的正方形，问最多可以裁剪到第

 

层？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：根据直角三角形的射影定理（Ⅰ）（Ⅱ）都可以求得；（Ⅲ）通过观察排列的规律即可判断．

解答：解：（Ⅰ）由于点C和点F其实分别是线段AF和的BC黄金分割点．
所以a₁²=（r+

a1

2

）（r-

a1

2

），
解得：a₁=

2 5

5

r；
（Ⅱ）根据题意得：a₂²=（r+a₂）（r-a₂），
解得a₂=

2

2

r；
a_n=（r+

1

n

a_n）（r-

1

n

a_n），
解得a_n=（2

1 4+n2

）r；
（Ⅲ）当n=9时，我们还可以在第一层的上面再裁剪出同样大小7个正方形，再在第二层的上面再裁剪出第三层同样大小5正方形，依此类推，4层是3个，5层1个；
所以最多可以裁剪到第 5层．

点评：本题考查了直角三角形的射影定理的运用，圆的圆周角的性质：直径所对的圆周角是直角．