Question

6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，S_△AOD：S_△BOC=1：9．
（1）求AD：BC的值；
（2）若S₁=2，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定方法，由AD∥BC可判断△AOD∽△COB，则根据相似三角形的性质得（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，利用算术平方根的定义易得AD：BC=1：3；
（2）根据相似三角形的性质，由△AOD∽△COB得到$\frac{OD}{OB}$=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，则根据三角形面积公式得S₂=2S₁=4，S₄=2S₁=4，加上S₃=9S₁=18，于是计算S₁+S₂+S₃+S₄即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△COB}}$=（$\frac{AD}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴AD：BC=1：3；
（2）∵△AOD∽△COB，
∴$\frac{OD}{OB}$=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴S₂=2S₁=4，S₄=2S₁=4，
而S₃=9S₁=18，
∴梯形ABCD的面积=S₁+S₂+S₃+S₄=2+4+18+4=28．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．本题的关键是等高的三角形面积的比等于底边的比．