Question

在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数y=-

3

x，y=

3

x的图象分别是直线l₁，l₂，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l，l₁，l₂中的两条相切．例如（

3

，1）是其中一个圆P的圆心坐标．
（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；
（2）在图中标出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长．

Answer 1

考点：圆的综合题,切线长定理,轴对称图形,特殊角的三角函数值

专题：计算题,作图题

分析：（1）对圆P与直线l和l₂都相切、圆P与直线l和l₁都相切、圆P与直线l₁和l₂都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点P的坐标．
（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等．只需求出其中的一条边就可以求出它的周长．

解答：解：（1）①若圆P与直线l和l₂都相切，
当点P在第四象限时，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，连接OP，如图1所示．

设y=

3

x的图象与x轴的夹角为α．
当x=1时，y=

3

．
∴tanα=

3

．
∴α=60°．
∴由切线长定理得：∠POH=

1

2

×（180°-60°）=60°．
∵PH=1，
∴tan∠POH=

PH

OH

=

1

OH

=

3

．
∴OH=

3

3

．
∴点P的坐标为（

3

3

，-1）．
同理可得：
当点P在第二象限时，点P的坐标为（-

3

3

，1）；
当点P在第三象限时，点P的坐标为（-

3

，-1）；
②若圆P与直线l和l₁都相切，如图2所示．

同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为（

3

3

，1）；
当点P在第二象限时，点P的坐标为（-

3

，1）；
当点P在第三象限时，点P的坐标为（-

3

3

，-1）；
当点P在第四象限时，点P的坐标为（

3

，-1）．
③若圆P与直线l₁和l₂都相切，如图3所示．

同理可得：
当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为（

2 3

3

，0）；
当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为（-

2 3

3

，0）；
当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为（0，2）；
当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为（0，-2）．
综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有：
（

3

3

，-1）、（-

3

3

，1）、（-

3

，-1）、
（

3

3

，1）、（-

3

，1）、（-

3

3

，-1）、（

3

，-1）、
（

2 3

3

，0）、（-

2 3

3

，0）、（0，2）、（0，-2）．

（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示．

由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，
由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等．
∴该图形的周长=12×（

3

-

3

3

）=8

3

．

点评：本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题．