Question

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB=135°，BP=1，AP=．求PC的长．

Answer 1

解：如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′（点C的对应点C′与点A重合），
所以，AP′=PC，BP′=BP=1，
所以，△PBP′是等腰直角三角形，
所以，∠P′PB=45°，PP′===，
∵∠APB=135°，
∴∠APP′=∠APB-∠P′PB=135°-45°=90°，
在Rt△APP′中，AP′===3，
∴PC=AP′=3．
分析：把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP′，然后求出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出P′A，从而得解．
点评：本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．