题目内容

已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰三角形,直线AC解析式为y=-2x+6,精英家教网将△AOC沿直线AC折叠,点O落在平面内的点E处,直线AE交x轴于点D.
(1)求直线AD解析式;
(2)动点P以每秒1个单位的速度,从点B出发沿着x轴正方向匀速运动,点Q是射线CE上的点,且∠PAQ=∠BAC,设P运动时间为t秒,求△POQ的面积S与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,直线CE上是否存在一点F,使以点F、A、D、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t值及Q点坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据直线AC的解析式,易确定出OB、OA、OC的长,根据折叠的性质知:OC=CE,即可得CE的值;用未知数表示出CD的长,然后根据△CDE∽△ADO得到DE的表达式,进而可在Rt△CDE中,由勾股定理求得CD的长,即可得D点坐标,从而利用待定系数法求得直线AD的解析式.
(2)此题应注意运用全等三角形来求解;由已知条件∠PAQ=∠BAC,可推出∠BAP=∠CAQ(两个等角减去或加上一个同角),从而证得△BAP≌△CAQ,得BP=CQ,以OP为底、CE•sin∠ECD为高即可求得△POQ的面积表达式,由此求得S、t的函数关系式;需要注意的是,在表示OP长时,要分两种情况:
①点P在线段OB上,②点P在x轴正半轴上.
(3)此题按两种情况考虑即可:①以AD为边,②以AD为对角线;可运用平行四边形的性质结合直线CE的解析式来求解.
解答:解:(1)∵直线AC解析式为y=-2x+6,
∴A点的坐标为(0,6),C点坐标为(3,0);
即OA=6,OC=3;
由折叠的性质知:∠AEC=∠AOC=90°,OA=AE=6,OC=CE=3;
设CD=x(x>0),则OD=x+3;
易证得:△CED∽△AOD,由于OA=2CE,
所以OD=2DE,即DE=
x+3
2

在Rt△CED中,由勾股定理得:
32+(
x+3
2
2=x2,解得x=5(负值舍去);
故CD=5,OD=8,D(8,0);
设直线AD的解析式为:y=kx+6,则有:
8k+6=0,k=-
3
4
精英家教网
∴直线AD解析式为y=-
3
4
x+6


(2)①当P在线段BO上时,即0<t<3时;
∵∠BAC=∠PAQ,∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC;
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO,且AB=AC,
∴△ABP≌△ACQ,得BP=CQ=t,OP=3-t;
∴△POQ的面积为:S=
1
2
OP•CQ•sin∠ECD=
1
2
(3-t)×
4
5
t,
即S=-
2
5
t2+
6
5
t;
②当P在x轴正半轴上时,即t>3时;
同①可得:BP=CQ=t,OP=t-3;
∴S=
1
2
OP•CQ•sin∠ECD=
1
2
(t-3)×
4
5
t,
即S=
2
5
t2-
6
5
t;
综上可知:S=
-
2
5
t2+
6
5
t(0<t<3)
2
5
t2-
6
5
t(t>3)


(3)分两种情况:
①0<t<3时,显然不存在以AD为边的情况,那么只考虑以AD为对角线的情况;
此时P(t-3,0),取易知AD的中点为:(4,3);
由于平行四边形中,以AD、PF为对角线,所以AD的中点也是PF的中点;
则F(11-t,6);
易求得直线CE:y=
4
3
x-4,代入F点坐标得:
4
3
(11-t)-4=6,解得t=
7
2

即BP=CQ=
7
2
,∴Q(
3
2
×
3
5
+3,
3
2
×
4
5
),即Q(
51
10
14
5
);
②t>3时,显然不存在以AD为对角线的情况,那么只考虑以AD为边的情况;
此时PF∥DP,即F点纵坐标为6,由①得,此时F(
15
2
,6);
即DP=AF=
15
2
,BP=BD+DP=11+
15
2
=
37
2
,即t=
37
2

此时CQ=BP=
37
2
,同①可求得:Q(
141
10
74
5
).
综上可知:存在符合条件的F点,此时的t值和Q点坐标分别为:
t=
3
2
,Q(
51
10
14
5
)或t=
37
2
,Q(
141
10
74
5
).
点评:此题主要考查了图形的翻折变换、一次函数解析式的确定、相似三角形及全等三角形的判定和性质、以及平行四边形的判定等知识,同时考查了分类讨论数学思想的引用,难度较大.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网