Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，直线AC解析式为y=-2x+6，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在平面内的点E处，直线AE交x轴于点D．
（1）求直线AD解析式；
（2）动点P以每秒1个单位的速度，从点B出发沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点F，使以点F、A、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线AC的解析式，易确定出OB、OA、OC的长，根据折叠的性质知：OC=CE，即可得CE的值；用未知数表示出CD的长，然后根据△CDE∽△ADO得到DE的表达式，进而可在Rt△CDE中，由勾股定理求得CD的长，即可得D点坐标，从而利用待定系数法求得直线AD的解析式．
（2）此题应注意运用全等三角形来求解；由已知条件∠PAQ=∠BAC，可推出∠BAP=∠CAQ（两个等角减去或加上一个同角），从而证得△BAP≌△CAQ，得BP=CQ，以OP为底、CE•sin∠ECD为高即可求得△POQ的面积表达式，由此求得S、t的函数关系式；需要注意的是，在表示OP长时，要分两种情况：
①点P在线段OB上，②点P在x轴正半轴上．
（3）此题按两种情况考虑即可：①以AD为边，②以AD为对角线；可运用平行四边形的性质结合直线CE的解析式来求解．

解答：解：（1）∵直线AC解析式为y=-2x+6，
∴A点的坐标为（0，6），C点坐标为（3，0）；
即OA=6，OC=3；
由折叠的性质知：∠AEC=∠AOC=90°，OA=AE=6，OC=CE=3；
设CD=x（x＞0），则OD=x+3；
易证得：△CED∽△AOD，由于OA=2CE，
所以OD=2DE，即DE=

x+3

2

；
在Rt△CED中，由勾股定理得：
3²+（

x+3

2

）²=x²，解得x=5（负值舍去）；
故CD=5，OD=8，D（8，0）；
设直线AD的解析式为：y=kx+6，则有：
8k+6=0，k=-

3

4

，
∴直线AD解析式为y=-

3

4

x+6．

（2）①当P在线段BO上时，即0＜t＜3时；
∵∠BAC=∠PAQ，∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO，且AB=AC，
∴△ABP≌△ACQ，得BP=CQ=t，OP=3-t；
∴△POQ的面积为：S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（3-t）×

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；
②当P在x轴正半轴上时，即t＞3时；
同①可得：BP=CQ=t，OP=t-3；
∴S=

1

2

OP•CQ•sin∠ECD=

1

2

（t-3）×

4

5

t，
即S=

2

5

t²-

6

5

t；
综上可知：S=

- 2 5 t2+ 6 5 t(0＜t＜3) 2 5 t2- 6 5 t(t＞3)

．

（3）分两种情况：
①0＜t＜3时，显然不存在以AD为边的情况，那么只考虑以AD为对角线的情况；
此时P（t-3，0），取易知AD的中点为：（4，3）；
由于平行四边形中，以AD、PF为对角线，所以AD的中点也是PF的中点；
则F（11-t，6）；
易求得直线CE：y=

4

3

x-4，代入F点坐标得：

4

3

（11-t）-4=6，解得t=

7

2

；
即BP=CQ=

7

2

，∴Q（

3

2

×

3

5

+3，

3

2

×

4

5

），即Q（

51

10

，

14

5

）；
②t＞3时，显然不存在以AD为对角线的情况，那么只考虑以AD为边的情况；
此时PF∥DP，即F点纵坐标为6，由①得，此时F（

15

2

，6）；
即DP=AF=

15

2

，BP=BD+DP=11+

15

2

=

37

2

，即t=

37

2

；
此时CQ=BP=

37

2

，同①可求得：Q（

141

10

，

74

5

）．
综上可知：存在符合条件的F点，此时的t值和Q点坐标分别为：
t=

3

2

，Q（

51

10

，

14

5

）或t=

37

2

，Q（

141

10

，

74

5

）．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换、一次函数解析式的确定、相似三角形及全等三角形的判定和性质、以及平行四边形的判定等知识，同时考查了分类讨论数学思想的引用，难度较大．