Question

5．已知方程x²-ax+4a=0．
（1）若方程有两个相异的正根，求a的取值范围；
（2）两根为x₁，x₂，-1＜x₁＜0＜x₂＜1，求a的取值范围；
（3）若a＞0，且方程仅有整数根，求a和根的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件利用根的判别式、根与系数的关系列出关于a的不等式组，解不等式组可得；
（2）利用方程与函数间的关系，转化为二次函数与x轴交点的分布问题求解；
（3）设两整数根为x，y，根据根与系数的关系，则 x+y=a＞0，xy=4a＞0，从而求出x的最小整数值，再根据判别式求出a的取值范围即可解答．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-16a＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=a＞0}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=4a＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞16；

（2）设f（x）=x²-ax+4a，
∵方程x²-ax+4a=0的两根x₁、x₂满足-1＜x₁＜0＜x₂＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-16a＞0}\\{f（-1）=1+a+4a＞0}\\{f（0）=4a＜0}\\{f（1）=1-a+4a＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{1}{3}$＜a＜0；

（3）设两整数根为x，y，则 x+y=a＞0，xy=4a＞0，
∴a=$\frac{{x}^{2}}{x-4}$，
∵a是正实数，
∴$\frac{{x}^{2}}{x-4}$＞0，由于x²≥0，（而a是正实数）
∴x-4＞0，即x＞4，
而x是整数，
∴x最小取5．
又∵原方程有根，
∴△=b²-4ac=a²-4×1×4a=a²-16a≥0，
∵a是正实数，
∴a≥16，
∴当x=5时，a=25，y=20；
当x=6时，a=18，y=12；
当x=7时，a=$\frac{49}{3}$，y=$\frac{28}{3}$（y不是整数，故舍去）；
当x=8时，a=16，y=8．
于是a=25或18或16均为所求．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根据判别式判断根的情况、韦达定理是根本，结合题意灵活运用是关键．