Question

2．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2$\sqrt{2}$，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，从而得证；
（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，结合∠E=30°可得答案；
②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG=FG=OG，由OC=2$\sqrt{2}$得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案．

解答 解：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAO；

（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC=∠DAO=105°，
∵∠E=30°，
∴∠OCE=45°；
②作OG⊥CE于点G，

则CG=FG=OG，
∵OC=2$\sqrt{2}$，∠OCE=45°，
∴CG=OG=2，
∴FG=2，
在Rt△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2$\sqrt{3}$，
∴$EF=GE-FG=2\sqrt{3}-2$．

点评 本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键．