题目内容
2．
如图，二次函数的图象经过点D（0，$\frac{7}{9}\sqrt{3}$），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6．（1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）该抛物线的对称轴上找一点P，是PA+PD最小，求出P的坐标；
（4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC的2倍？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）根据函数的对称性，又由AB=6，对称轴x=4，即可求得A，B的坐标；
（2）利用待定系数法，设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k，又由抛物线过点A，B，D即可求得抛物线的解析式；
（3）由PA=PB，可知：当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，则可利用△BPM∽△BDO求得点P的坐标；
（4）首先求得点C的坐标，利用三角形面积求法以及二次函数图象上点的坐标特征进而得出答案．
解答 解：（1）∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴A（1，0）、B（7，0）；
（2）设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k，
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，$\frac{7}{9}$$\sqrt{3}$），
∴y=a（x-4）2+k•$\frac{7}{9}$$\sqrt{3}$=16a+k①，
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴A（1，0），B（7，0），
∴0=9a+k②，
由①②解得a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，k=-$\sqrt{3}$，
∴二次函数的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x-4）2-$\sqrt{3}$或y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x2-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{7\sqrt{3}}{9}$．
（3）如图1：∵点A、B关于直线x=4对称，
∴PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD≥DB，
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，
∴DB与对称轴的交点即为所求点P，
设直线x=4与x轴交于点M，
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，
∴△BPM∽△BDO，
∴$\frac{PM}{DO}$=$\frac{BM}{BO}$，
∴PM=$\frac{\frac{7}{9}\sqrt{3}×3}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点P的坐标为（4，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
（4）如图2：设存在Q（x，y），使△QAB的面积是△ABC的2倍，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x-4）2-$\sqrt{3}$，
∴C点坐标为：（4，-$\sqrt{3}$），
则$\frac{1}{2}$AB•y=2S△ABC，
故$\frac{1}{2}$y×6=2×$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$，
解得：y=2$\sqrt{3}$，
∵Q在抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x2-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{7\sqrt{3}}{9}$上，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x2-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
解得：x1=4+3$\sqrt{3}$，x2=4-3$\sqrt{3}$，
故点Q的坐标为：（4+3$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），（4-3$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、点的坐标求法以及三角形面积求法、相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用数形结合以及对称点求最短路线是解题关键．
